关于shadow的补充

Distance Field Soft Shadow

Distance Functions/(Signed)Distance Field(SDF)

定义了空间中一点到物体表面的最小距离

可能被规定为带正负号的，即到一个表面的有向(signed)距离

不同物体的SDF混合后可以产生平滑的过度，是SDF一个非常好的性质

下图是一个可视化的SDF

SDF的应用

1.Sphere tracing

对于在SDF上进行的ray tracing，一个很简单的实现方式是sphere tracing，实现方法如下

对于ray上一点P

1.求得SDF(P)

2.沿着射线方向移动SDF(P)的距离到达P’

3.对于P’,回到第一步操作直到接触到物体表面（SDF(P)=0）

2.计算软阴影

通过SDF我们可以获得一个不会被遮挡的“安全角度”，原理如图所示

如果安全角度比较小，我们可以认为该点对于光源的可视度低

计算安全角度的方法：对于每次sphere tracing的结果，记录SDF(P)的最小值和最小值对应的点P‘，则安全角度$\theta$对应的公式为

$\theta=\arcsin(\cfrac{SDF(P')}{|P'-O|})$

我们自然可以这样计算，但反三角函数计算量非常大，实时渲染中应尽量避免这种运算，所以我们可以进行如下简化

$Visiblity=min\{k·\cfrac{SDF(P')}{|P'-O|},1.0\}$

这样可以一步得出可视度，注意到可视度并不会大于1.0，也就是说$k·\cfrac{SDF(P’)}{|P’-O|}$大于1的部分并没有任何作用，不难看出k的变大会使得大于1的部分变多，从而使软阴影渐变的范围变小，提升阴影的硬度。

距离场软阴影的特点

优点

快速

质量不低

缺点

需要预计算

对存储有重度需求（三维的SDF）

SDF存在各种Artifact（瑕疵？还是怎么翻译？）

环境光的着色

简单回顾环境光照

用一张图记录环境中的光照信息

默认所有的光都是来自无限远的

IBL(Image-Based Lighting)

对于处于环境光照下的物体，我们如何给这个物体上的每一个点着色呢？

一说起着色，我们自然就会想到渲染方程

$L_o(p,\omega_o)=\int_{\Omega+}L_i(p,\omega_i)f_r(p,\omega_i,\omega_o)\cos{\theta_i}V(p,\omega_i)d\omega_i$

环境光照下并不考虑visibility项，因此正确的渲染方程为

$L_o(p,\omega_o)=\int_{\Omega+}L_i(p,\omega_i)f_r(p,\omega_i,\omega_o)\cos{\theta_i}d\omega_i$

计算机该如何解上述的方程？Games101讲过的蒙特卡洛积分就是对上述方程积分的一个无偏估计。

然而蒙特卡洛积分需要大量的采样，如果对于每一个点都需要应用一次蒙特卡洛积分，这个方法将慢到爆炸，现在基于降噪，采样复用等等技术，这个方法也变得逐渐可用，但本着能不采样就不采样的原则，我们引入如下方法

The Split Sum

我们观察到如果这个物体的BRDF是glossy的(类似镜面反射)，那么对于一个观察的视角，只需要计算一个很小的积分域，如果BRDF是diffuse的（漫反射），那么它的BRDF就会比较光滑，如图所示，下图中左边为glossy的BRDF，右边为diffuse的BRDF

还记得上一节课讲到的实时渲染的近似相等吗？

$\int_{\Omega}^{}f(x)g(x)\text{d}x \approx \cfrac{\int_{\Omega}^{}f(x)\text{d}x}{\int_{\Omega}^{}\text{d}x}·\int_{\Omega}^{}g(x)\text{d}x$

上式在积分域小，g(x)足够光滑时足够准确

可以发现我们的BRDF完美符合了如上条件，所以渲染方程可以被我们拆解为

$L_o(p,\omega_o)\approx\cfrac{\int_{\Omega_{fr}}L_i(p,\omega_i)d\omega_i}{\int_{\Omega_{fr}}d\omega_i}·\int_{\Omega_+}{f_r(p,\omega_i,\omega_o)\cos(\theta_i)d\omega_i}$

~~看着就头疼~~

莫慌，先看环境光

对于环境光项的处理

注意乘号前面的项，在我们拆出来的两部分中，这项包含了入射光项，我们把它在BRDF所覆盖的范围内积分并取平均，实际上表示我们模糊了作为入射光的环境光贴图，所以实际上我们完全可以提前对环境光贴图进行滤波（可以理解为模糊），更进一步的，我们可以先给环境光贴图做不同强度的模糊，在需要的时候直接查询，这与MIPMAP非常相似

现在前面一半被我们解决了，那后面一半的积分呢？

按照上述的想法，我们好像也可以对这个BRDF做预计算，但是这种预计算实在太浩大了（菲涅尔项，粗糙度等等一堆东西），还是很慢

但是预计算还是要预计算的，维数太多就只能降维估计近似这样子

~~接下来基本没太懂照搬原话警告~~

对于BRDF的处理

首先我们回顾一下Microfacet BRDF（微表面BRDF）

对于一个点p，入射方向i，出射方向o，我们可以把BRDF写成如下形式

$f(i,o)=\cfrac{F(i,h)G(i,o,h)D(h)}{4(n,i)(n,o)}$

其中F为菲涅尔项，决定了从不同角度观察材质有多少能量被反射，G为阴影遮蔽项，D为微表面法线分布，h为半程向量（（入射向量+出射向量）/2），其中比较重要的是F和D，我们重点考虑

先看菲涅尔项F，这是一个十分复杂的函数，但是有一个近似方法可以很好的近似菲涅尔项，即Schlick’s approximation，根据这种近似，我们有

$R(\theta)=R_0+(1-R_0)(1-\cos{\theta})^5$

$R_0$为物体的基础反射率

关于物体的法线，我们以贝克曼分布（Beckmann distribution）为例，公式如下

$D(h)=\cfrac{e^{-\cfrac{\tan^{2}{\theta_h}}{\alpha^2}}}{\pi\alpha^2\cos^{4}{\theta_h}}$

~~说实话没太看懂但是知道有这么个分布就得了~~

~~ylq原话：非常简单的一个一维的分布~~

其中$\alpha$代表了物体表面的粗糙度，$\theta_h$表示半程向量h和法线的夹角，我们可以用各种代换把她变成跟入射方向有关的角度，也就是说，菲涅尔项中的$\theta$和法线分布中的$\theta_h$并不是两个互不相关的未知数，而是可以用一个未知数同时表示的两个项。

这样BRDF就被我们降维到了三个维度：$R_0$，$\alpha$和$\theta$

三维还是高了一点，能不能再拆一个变量出去呢？

人们发现~~别问我怎么发现的~~当我们用Schlick’s approximation表示菲涅尔项后，BRDF还可以被近似成如下的形式：

$\int_{\Omega_+}{f_r(p,\omega_i,\omega_o)\cos(\theta_i)d\omega_i}\approx R_0\int_{\Omega_+}{\cfrac{f_r}{F}(1-(1-\cos{\theta_i})^5)\cos(\theta_i)d\omega_i}+\\ \int_{\Omega_+}{\cfrac{f_r}{F}(1-\cos{\theta_i})^5\cos(\theta_i)d\omega_i}$

~~生怕我学会的式子~~

不过看不懂这个式子其实问题不大，本质是公式的整理，关键是现在我们把$R_0$从积分中拆出去了，积分里只剩下两个变量了！

这样我们就可以放心大胆的预计算了，我们可以根据每一个$\alpha$和$\theta$算一遍结果，把结果打印在一张表上，对于图形学来说就是一张2D的texture，前后两部分积分各打一张tex，效果如下

这样我们就解决了~~（就？）~~环境光的渲染问题

FocoL用来显摆的架子

Games202笔记——Real-time-Environment-mapping(1)