这节课主要是关于光栅化软阴影的算法光追扎布多德勒
关于shadow mapping的回顾
shadow mapping的步骤
1.生成shadow map
从光源方向看向场景，测量场景最浅的的深度，记录成为shadow map（SM）
2.检测阴影
从相机方向，结合SM判断场景是否在阴影里
shadow mapping的问题
self occlusion
因为shadow map 的精度，每个像素记录的深度为常数，使得深度被离散化产生的问题
解决方法：
1.加入一个bias，可以根据情况调整（工业界常用）
2.second-depth shadow mapping
不但储存最小深度，还储存次小深度，对两个深度取中点作为深度储存。
听起来很美好但限制太多了又慢根本没人用
此外，这个方法要进行两次深度查询，虽然渐近时间复杂度都是O(n)但是实时渲染不相信复杂度
走样
同样是因为shadow map的精度问题，投射的阴影有锯齿
实时渲染中的近似相等
上式在积分域小，g(x)足够光滑时足够准确别问我为什么我不知道我恨数学
依照上式，渲染方程
可被近似为
此式子将会在环境光遮蔽时被使用
PCSS(Percentage Closer Soft Shadows)
传统的shadow mapping方法只能得到硬阴影，但在现实世界中更加常见的是软阴影，PCSS就是一种获得软阴影的方法
PCF(Percentage Closer Filtering)
最开始开发出来是为了做阴影的反走样（抗锯齿），但PCSS用这种方法做反走样
PCF的作用原理
首先，PCF不是对SM求平均，模糊SM，也不是直接对生成完毕后的阴影结果做模糊
对于一个shading point p，在SM上查找其深度时，不止查找p点本身在SM上对应的深度，还查找p点及其周围像素对应的深度值，并与p点对应的值做比较，周围的像素在上述比较过后可以产生两种结果，要么挡得住p点（深度小于p点），要么挡不住p点（深度大于p点），然后对此结果做filter，以此为依据决定阴影的强度
可以看见，当我把这个filter的范围取的比较大的时候，就可以用PCF近似出软阴影的效果了
PCSS中的PCF
那么，我们应该给一个多大的filter，filter的大小必须要是固定的吗？
显然并不是的，对于不同的遮挡物到阴影的距离，要给不同大小的filter，这也很好理解，月食不一定能把太阳全部挡住，但你的手可以
更准确的说法，filter size和相对的，平均的，投射的遮挡物深度有关(relative average projected blocker depth)说人话
从上图可以看到其实就是个简单的相似三角形关系，图来自Games202原视频
PCSS算法全过程
对于面光源无法生成SM的问题：将面光源看作点光源（例如放在面光源中心的点光源）去生成SM
对于一个shading point p：
1.记录p点周围所有可以遮挡住p点的像素（Blocker）的平均深度$d_{Blocker}$
2.根据$d_{Blocker}$求得$w_{penumbra}$
3.PCF
在PCSS中，我们可以用如下式子表示PCF算法
其中$\chi^+()$为符号函数，其中变量大于0函数值为1，反之为0,w为权值
关于取得$d_{Blocker}$时所查询的范围大小，第一可以用一个常数大小（比如5x5）
除此之外还有一个更好的方法，见图
这样这个套娃问题就解决啦
PCSS的问题
开销非常，非常，非常，恐怖
想象一下，对于一个点p，假如PCF的filter范围是5x5，第一步找$d_{Blocker}$的范围也是5x5，一来一去五十次采样，50倍开销，这么压榨电脑，这要是个ai，你就 等着智械危机吧。
不难看出，多次采样就是变慢的元凶，而采样主要发生在第一步和第三步，那么有没有方法减少采样次数，加速PCSS呢？
1.稀疏采样
工业界有在用，但是会导致噪声，目前有先稀疏采样再降噪的做法
2.全新的软阴影生成方法：VSSM
VSSM(Variance Soft Shadow Mapping)
VSSM解决PCF
此方法针对性的解决PCSS第一步和第三步慢的问题
我们在PCF这一步想要知道周围像素是否遮挡的加权平均，不难看出，如果在不加权的情况下，这个问题其实等价于求周围像素遮挡的个数除以总个数，那不就是周围像素遮挡的概率嘛！
换句话说，我们只要能够估计周围像素遮挡着色点的概率，我们就可以在不知道周围像素具体情况（不采样）的情况下实现PCF算法。
我们直接暴力的认为周围采样点的深度的分布是符合正态分布的，那么我们如何估算出这么一个正态分布呢？熟悉个屁概率论的良好大学生很快就能反应过来了：我们需要掌握周围采样点的信息只有两个：均值和方差。
首先是平均值，给你一张图，我问你要一个范围内的平均值，在图形学课程中我们能想到什么？
这玩意不就是MIPMAP嘛
除了MIPMAP，我们还有一种更精准的方法叫做SAT(Summed Area Tables)，实现原理是简单的前缀和，SAT的介绍写在后面了
我们可以知道的就是我们很轻松的就可以知道它的平均值，现在平均值有了，那么方差呢？
接下来请出我们的一个刻在DNA里的经典公式概率论双杀
直接拿下
这样我们只需要在缓存SM的同时再缓存一张记录了深度平方的SM就搞定了
现在我们已经可以估计出一个正态分布了，这时候其实我们想要知道的是这个正态分布曲线下面围成的面积，也就是那个熟悉的$P(X> x)$
学过概率论的你估计有反应过来了：这不是那个著名的不等式吗？
没错，隆重请出切比雪夫（chebychev）不等式
到现在就可以摊牌了，正态分布只是方便理解，真正要用到的就是上面这个切比雪夫不等式
虽然这里不是等于，是小于等于，但是实时渲染充满了近似，我们可以近似的认为有
尽管切比雪夫不等式其实有很多的限制都没有考虑，但是这很好用，也很快，误差也尚可接受，所以实时渲染里我们可以用这种方法
VSSM解决Blocker Search
以上我们解决了第三步PCF的多次采样问题，那么第一步Blocker search呢？
一次采样的点之中有且仅有两种情况：这个点可以算作Blocker，以及这个点不能算作Blocker
我们记总采样个数$N$，Blocker的平均深度为$z_{occ}$，个数为$N_1$，非Blocker的深度为$z_{unocc}$，个数为$N_2$,平均深度为$z_{avg}$
则很容易看出来对于任意情况总有
我们不难看出$\cfrac{N_2}{N}=P(x>t)$，又可以愉快的切比雪夫了
现在我们知道了$\cfrac{N_2}{N}$，$\cfrac{N_1}{N}=1-\cfrac{N_2}{N}$以及直接从MIPMAP或SAT获得的$z_{avg}$，想要解出$z_{occ}$，但我们还有一个变量不知道：$z_{unocc}$
这里就又是大胆假设出场的时机了：我们直接假设$z_{unocc}=t$，没想到吧
其实是因为绝大部分阴影接收者是个平面，所以这么假设问题不大（你妹啊斜的平面咋办啊？）
总之现在我们也就把这个问题解决了，撒花
SAT(Summed Area Table)
这里插播一个之间就提到的，比MIPMAP精确且可以适应长方形查询平均值的技术：SAT
前面已经说到了SAT是一个基于前缀和的算法，这里放张图大家感受一下什么是前缀和
可以看到SAT的第n项实际上就是把原输入前面的n项加起来，当我们要求m到n项之间的和的时候，只需要用SAT的第n项减去第m-1项就好了，这种预处理的方法快速便捷无误差。
拓展到二维也是一样，我们只需要在预处理生成SAT的时候把1D时的加左方一项改成加上方一项和左方一项，求[a,b]到[x,y]之间的和的时候只需要做如下的操作即可，具体看图
VSSM结尾
虽然VSSM很牛逼，但是业界还就那个逐渐没人用
主要是因为各种降噪手段都出来了，空间域和时间域双管齐下，导致稀疏采样的PCSS逐渐的好起来了，这么多近似的VSSM用的人就少了
但是这个算法是真的牛逼啊，这就是我学概率论的意义吗（
话是这么说但根本没好好学概率论
Moment Shadow Mapping
由于VSSM做出了太多的近似，容易被出题人出数据卡掉在某些环境下不准确
举个例子，如果在切比雪夫估计遮挡率的环节你估计遮挡率低了，阴影就会偏白并发生漏光现象，偏黑也就算了，偏白是绝对不能忍受的
另外当接收物不是平面的时候也会出现问题，参见Blocker search的近似
MSM主要是为了解决VSSM估计分布不准的问题
如果我告诉你Moment在这里是“矩”的意思，你是不是就能猜出点什么了？没错，MSM正式利用了高阶矩来估计分布
不知道矩的自己回去复习概率论虽然我也就知道这么个名词
十分复杂所以闫大神没讲具体实现
我也不想听
现在也没人用
结尾
头一次上课做笔记
这是闫令琪大神在GAMES上发表的课程GAMES202-高质量实时渲染的个人笔记，有想要学习的和图一乐的可以参考一下
本次笔记覆盖到了第三讲和第四讲，real-time shadows部分
做笔记真的累死了但是为了充实blog我忍了